Einleitung

Jede Form von Signal"ubertragung, sei es zur Kommunikation oder bei der Aufnahme von Daten in physikalischen Experimenten, ist potentiell dem Einflu"s von St"orungen ausgesetzt. Diese St"orungen k"onnen vielf"altigster Natur sein, gemeinsam ist ihnen im allgemeinen nur, da"s sie unerw"unscht sind, und zwar besonders dann, wenn sie Teile der Information des Signals zerst"oren. Man denke sich zum Beispiel einen Informationskanal gegeben, "uber den mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine Null und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine Eins "ubertragen wird. Auf halber Strecke in diesem Kanal sitzt ein D"amon, der mit Wahrscheinlichkeit 1/2 die Nachricht ver"andert (aus der Eins macht er eine Null und umgekehrt), mit Wahrscheinlichkeit 1/2 aber die Nachricht unver"andert l"a"st. Es ist anschaulich klar und l"a"st sich mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden verifizieren, da"s in diesem (zugegebenerma"sen extremen) Beispiel die empfangene und die gesendete Nachricht nichts mehr miteinander zu tun haben. Offensichtlich geht keine Information verloren, wenn der D"amon stets eine Vertauschung vornimmt (sofern das Verhalten des D"amons bekannt ist). Gef"ahrlich sind also solche St"orungen, deren Verhalten nicht genau bekannt ist. Diese St"orungen bezeichnet man als zuf"allig. Andere St"orungen, deren Verhalten bekannt ist oder sich identifizieren l"a"st, bezeichnet man als systematisch. Es ist nicht unbedingt sinnlos, St"orungen, deren Verhalten man vollst"andig kl"aren k"onnte, trotzdem als zuf"allig anzusehen, da die Identifikation ihrer Ursachen oft schwieriger ist als ihre Bek"ampfung mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden.

In dieser Arbeit geht es um eine gewisse Klasse von Signalen, n"amlich solche, die durch eine iterierte Abbildung zustande kommen. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei nichtlinearen Abbildungen gewidmet, die im allgemeinen gr"o"sere Probleme aufwerfen als lineare. Ein Grund ist, da"s nichtlineare Abbildungen ein "ahnlich irregul"ares Verhalten zeigen k"onnen wie zuf"allige Signale. Das Verhalten iterierter Abbildungen ist nat"urlich theoretisch immer vorhersagbar, in der Praxis jedoch zeigt sich, da"s viele Systeme extrem sensitiv auf kleine St"orungen des Zustandes reagieren. Aufgrund der endlichen Rechengenauigkeit werden diese Systeme, f"ur die man allgemein den Begriff chaotische Systeme benutzt, praktisch unvorhersagbares Verhalten zeigen.

Im ersten Kapitel dieser Arbeit werden erst einmal die wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden vorgestellt, die in dieser Arbeit ben"otigt werden. Die Wahrscheinlichkeitstheorie gestattet die Behandlung von Gr"o"sen, deren Verhalten nur in Form von Verteilungen bekannt ist. Dieser Formalismus dient dann zur Beschreibung der St"oreinfl"usse auf das eigentlich gew"unschte Signal.

Im zweiten Kapitel geht es um die Systeme, welche die Signale erzeugen, die eigentlich gemessen werden sollen. Das sind, wie gesagt, nichtlineare iterierte Abbildungen, die auch dynamische Systeme genannt werden. Zur Beschreibung ihres Verhaltens werden die notwendigen Begriffe eingef"uhrt. Davon wird sp"ater nur ein Teil ben"otigt. Um jedoch ein allgemeines Bild dieser Abbildungen zu zeichnen werden auch zus"atzliche Dinge angef"uhrt, die von allgemeinem Interesse sind und deshalb meines Erachtens hierher geh"oren.

Im dritten und vierten Kapitel werden die Methoden zur Reduktion der St"oreinfl"usse bzw. des Rauschens, wie im folgenden immer gesagt werden wird, entwickelt und in exemplarischen Beispielen zur Anwendung gebracht. Dabei geht es im dritten Kapitel um Filterung. Damit ist hier gemeint, da"s man als Information zur Rekonstruktion des momentanen Systemzustandes im wesentlichen die Beobachtungen des gest"orten Signals aus der Vergangenheit zur Verf"ugung hat. Im vierten Kapitel geht es dann um den Fall, da"s man das gest"orte Signal in seiner vollen L"ange zur Verf"ugung hat. Die Aufgabe ist dann die Rekonstruktion des Ursprungssignals. Es wird dort auch kurz darauf eingegangen, was zu tun ist, wenn das dynamische System nicht oder nicht vollst"andig bekannt ist.

In dieser Arbeit k"onnen weder alle Aspekte dieses Themenkreises noch alle technischen Einzelheiten angesprochen werden. Ziel der Arbeit ist es vielmehr, die bestehenden Verfahren in ein allgemeines Konzept einzuordnen. Dieses Konzept besteht in der Anwendung einfacher statistischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Werkzeuge. Daraus ergeben sich auch einige weitere Verfahren, die getestet werden.

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, da"s in dieser Arbeit ausschlie"slich dynamische Systeme in diskreter Zeit besprochen werden. Einige wenige Worte zu dynamischen Systemen und Reduktion von Rauschen in kontinuierlicher Zeit sind im Anhang A zu finden.