In dieser Arbeit wird ein Schätzproblem für nichtlineare stochastische Systeme in diskreter Zeit betrachtet, welches in der Literatur als Filterung bezeichnet wird. Das Ziel ist die Rekonstruktion des momentanen internen Zustandes eines nichtlinearen Systems mit Hilfe von Messungen. Diese Messungen sind durch Rauschen gestörte Werte einer nichtlinearen Funktion des Zustandes.

Im ersten Kapitel werden zunächst Konzepte und Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie erörtert, welche zur Formulierung und Untersuchung des Filterproblems benötigt werden. Die genaue Definition des Problems wird im zweiten Abschnitt dieses Kapitels besprochen.

Das zweite Kapitel erklärt im Detail, warum Filterung eines nichtlinearen Systems im allgemeinen ein äußerst schwieriges Problem ist. Es zeigt sich, dass eine endlichdimensionale Darstellung des Filters nur unter sehr speziellen Voraussetzungen möglich ist. Dieses Kapitel fasst bekannte Resultate aus der Literatur zusammen. Ziel ist hauptsächlich, die Notwendigkeit der Untersuchung von Approximationsmethoden für den nichtlinearen Filter zu motivieren, welche Gegenstand der folgenden zwei Kapitel sind.

Im dritten Kapitel werden numerische Approximationsmethoden von einem allgemeinen Standpunkt aus betrachtet. Es wird eine generelle Vorgehensweise entwickelt, mit der man Fehlerschranken für eine große Klasse von numerischen Methoden erhalten kann. Notwendig für diese Untersuchungen sind Abstandsbegriffe im Raum aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen, von denen im Folgenden viel Gebrauch gemacht wird. Es stellt sich heraus, dass ein negativer Lyapunov-Exponent eine notwendige Eigenschaft für die Existenz quantitavier Fehlerschranken ist.

Das vierte Kapitel stell einige Approximationsschemata vor. All diesen Methoden gemeinsam sind Projektionstechniken auf endlich dimensionale Mannigfaltigkeiten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Für Systeme in kontinuierlicher Zeit wurde dieser Ansatz bereits von verschiedenen Autoren vorgeschlagen. Eine Analyse des Fehlers jedoch, wie sie in dieser Arbeit zu finden ist, wurde nach unserem Wissen bisher nicht durchgeführt.

Die letzten zwei Kapitel präsentieren neben zwei kleinen Abschnitten zu Monte-Carlo-Methoden zwei interessante Anwendungen der nichtlinearen Filterung. Die erste ist die Schätzung unbekannter Parameter in der Dynamik. Dieses wichtige Problem tritt in allen Bereichen der Naturwissenschaft auf . Es werden zwei Beispiele präsentiert. Die zweite Anwendung ist die Rekonstruktion einer gesendeten Nachricht in der Telekommunikation. Diesem Problem ist ein Kapitel gewidmet. Für ein einfaches Transmittermodell werden mit Hilfe von Methoden der nichtlinearen Filterung Resultate über die sich ergebende Bit-Error-Wahrscheinlichkeit präsentiert.

Zusammenfassend hat diese Arbeit drei Aspekte zum Ziel. Erstens, zu zeigen, dass die optimale Filterung nichtlinearer Systeme vom rein mathematischen Standpunkt aus ein schwieriges und interessantes Problem darstellt, zweitens, Methoden anzugeben, welche die sich in Anwendungen ergebenden Probleme lösen und drittens, zu zeigen, dass Filterung nicht nur ein akademisches mathematisches Problem ist sondern große Relevanz in Naturwissenschaft und Technik besitzt.